NCERT Solutions for Class 8 Maths Chapter 2

 NCERT Solutions for Class 8 Maths Chapter No. 2

EXPONENTS

• Chapter No. 2.    EXPONENT

INTRODUCTION

• When a is a number then a × a × a × ……….×….(n times) then the product is    where 'n' is called exponent and 'a' is called base.
• Some formulas:  

            (1)        a^m × aⁿ    =  a^m+n

(2)       a^m ÷ aⁿ  = a^m-n

(3)       (a^m)ⁿ        =  a^m×n

(4)       (ab)ⁿ        =  aⁿ  × bⁿ

(5)        aⁿ              =  1/(a-n)

            (6)        a⁰             = 1

(7)   (-1)^{Even no.} =1

(8)   (-1)^{Odd no.} = -1

(9)            (-a)^m  = {(-1) × a}^m = (-1)^m  × a^m

So,  (-a)^m  is positive or negative depends on (-1)^m  

If p and q is a rational number then

                                               

                                  [p\q]^m  = p^m \ q^m and [p\q]^-m = [q\p]^m

Exercise 2.1

Q.1.  Simplify the following :
(a)   (-5)³  
Sol:-         (-5)³     = {(-1) × 5}³

                            = (-1)³ × 5³

                            = (-1) × (5 × 5 × 5)

                            = -125      Ans.

(b).   (-4)⁵  

Sol:-           (-4)⁵   = {(-1) × 4}⁵

                            = (-1)⁵ × 4⁵

                            = (-1) × ( 4 × 4 × 4 × 4 × 4)

                            = -1024           Ans.
(c).   (-2)^6  
Sol:-             (-2)⁶   = {(-1) x 2}⁶

                                 = (-1)⁶ × 2⁶

                                 = 1 × (2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2)

                            = 64           Ans. 

(d).  (-3) ⁶ 

Sol:-          (-3) ⁶  =   {(-1) x 3}⁶

                             =    (-1)⁶ x 3⁶

                                 =     (1) x ( 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 )

                                 = 729         Ans.  

Q.2.   Write the following in the form of exponents.  :

(a).   5⁴ x (-5)²

Sol:-   5⁴ x (-5)² = 5⁴ x {(-1) x 5}²

                           = 5⁴ x (-1)²  x 5 ²

                           = (-1) ²  x 5⁴ x 5²

                           = 1 x 5^{4 +2}

                           =  1 x 5⁶

                           = 5⁶         Ans.

(b).   15 × (-15)²⁵

Sol:-    15 × (-15)²⁵ = 15 × {(-1) × 25 }²⁵

                                = 15 × (-1)²⁵  × (15)²⁵

                                = (-1)²⁵ × 15 × 15²⁶

                                = -1 × 15¹⁺²⁵

                                = -1 × 15²⁶

                                = -(15)²⁶                Ans.

(c).   12⁵ ÷ (-12)³ 

Sol:-   12⁵ ÷ (-12)³ = 12⁵/ (-12)³

                        = 12⁵ / {(-1×12}³

                    =  12⁵ / (-1)³ × 12³

                    = 12⁵/ -1 × 12³

                        = -12^5-3

                        = -(12)²          Ans.

(d).   (-p)¹⁴ ÷ (-p)⁷

Sol:-      (-p)¹⁴ ÷ (-p)⁷ = (-p)¹⁴/ (-p)⁷

                            = {(-1) × p}¹⁴ / {(-1) × p}⁷

                        = (-1)¹⁴ × p¹⁴/ (-1)⁷ × p⁷

                        =  -1 × p^14-7

                        =  -1 × p⁷

                        =-(p)⁷            Ans.

Q.3.    Verify the given statements by giving both the sides.

(a).   (-2)⁴ ×  (-2)²   = (-2)⁸  ÷ (-2)²

Sol:-   L.H.S.  (-2)⁴ ×  (-2)²   = {(-1) ×2}⁴ × {(-1) × 2}²

                                               =  (-1)⁴ × 2⁴  × (-1)² ×2²

                                               = 1   × 2⁴ × 1 × 2²

                                               = 2⁴ × 2²

                                               = 2⁴⁺²

                                               = 2⁶

R.H.S.     (-2)⁸  ÷ (-2)²          =  (-2)⁸ / (-2)²

                                                        =  {(-1) × 2}⁸ / {(-1) ×2}²

                                               =  (-1)⁸ × 2⁸ / (-1)² × 2²

                                               =  1 × 2⁸ / 1 × 2²

                                               = 2⁸ /  2²  = 2^8-2   =2⁶

                                Hence,  L.H.S.  =  R.H.S.

(b).  (-3)² × (-3)^-6 = 1 / (3²)²

Sol:-   L.H.S.   (-3)² × (-3)^-6 = (-3)² × 1 / (-3)⁶

                                     = (-3)²  /  (-3)⁶

                                     = {(-1) × 3}²  /  {(-1) × 3}⁶

                                     = (-1)²× 3²  /  (-1)⁶  × 3⁶

                                     = 1 × 3²  /  1 × 3⁶

                                     = 3² /  3⁶

                                     = 3^2-6

                                    = 3^-4

R.H.S.    1 / (3²)²       = 1 / 3^2×2+

                                   = 1 / 3⁴

                                  = 3^-4

                   Hence,    L.H.S.  = R.H.S. 

(c).  (-7)³²  ÷  (-7)³² = 1

Sol:-  L.H.S.   (-7)³²  ÷  (-7)³² = (-7)³²  /  (-7)³²

                                                 = {(-1) × 7}³²  /  {(-1) × 7}³²

                                                 = (-1)³² × 7³²   /   (-1)³² × 7³²

                                                 = 1 × 7³²  /  1 × 7³²

                                                 = 7³² / 7³²

                                                 = 7^32-32

                                                 = 7⁰

                                                 =  1  R.H.S.

    Hence,  L.H.S = R.H.S. 

Exercise 2.2

Q.1.  Simplify the following : 

(a).  (2/7)³ (1/2)³
Sol:-        (2/7)³  × (1/2)³ = (2)³ / (7)³  × (1)³ / (2)³

                                         = (2)³ / (2)³  ×  1 / (7)³

                                         = (2)^3-3 × 1 / 7 × 7 × 7

                                          = (2)⁰  × 1 / 343

                                          = 1 × 1 / 343 =  1/343     Ans.

(b).    (4/5)⁴  × (5/4)²

Sol:-          (4/5)⁴  × (5/4)² = (4/5)⁴  × (4/5)^-2

                                           = (4/5)^4+(-2)

                                                   = (4/5)^4-2

                                            = (4/5)²

                                           = 16/25                 Ans.

(c).   (-5)³÷(-1/5)²

 Sol:-       (-5)³÷(-1/5)²       =    (-5)³ ÷ (-1 × 5^-1)²

                                            =   (-5)³ ÷ (-1)² × (5^-1)²

                                            = (-5)³ /  1 × 5^-2

                                            = (-5)³  /  (5)^-2

                                            =  (-1)³ ×5³/ (5)^-2

                                            = -1 × 5³/ 5­^-2

                                            = -1 × 5^3-(-2)

                                                     = -1 × 5⁵

                                            = -3125                 Ans.

(d). (3/4)³×(3/4)^-5   

Sol:-     (3/4)³×(3/4)^-5         =  (3/4)^3+(-5)

                                            = (3/4)^3-5

                                             =(3/4)^-2

                                             = 1/(3/4)²

                                             = 1/ 9/16

                                             = 1 × 16/9

                                             = 16/9                   Ans.

Q. 2.  Express in the form of exponent :

(a).  -25/49

Sol:-                    -25/49      = (-1) × 25/49

                                            = (-1) × 5/7×5/7

                                            = (-1) × 5²/7²

                                            = (-1) × (5/7)²

                                            = -(5/7)²               Ans.

(b).   27/125

Sol:-                       27/125 = 3 × 3 × 3 / 5 × 5 × 5

                                           = 3³/5³

        =  (3/5)³                       Ans.

(c).  729/64

Sol:-                       729/64  =  (3 × 3 × 3  × 3 × 3 × 3)/ (2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2

                                            = 3⁶/ 2⁶

                                            = (3/2)⁶                 Ans.

Q. 3. Prove that  :

(a).   (5/7)⁷ × (7/5)⁷ – (3/19)² × (19/3)² = 0

Sol:-

         L.H.S.  (5/7)⁷ × (7/5)⁷ – (3/19)² × (19/3)² =  (5/7)⁷×(5/7)^-7 -  (3/19)² × (3/19)^-2

                                                                            =  (5/7)^7+(-7)    -  (3/19)^2+(-2)

                                                                            = (5/7)^7-7  -  (3/19)^2-2

                                                                            = (5/7)⁰   -  (3/19)⁰

                                                                            = 1-1

                                                                            = 0   R.H.S.

                                                           Hence,   L.H.S. = R.H.S.     Proved.

(b).  (p/q)^m  × (p/q)^m × (q/p)^m = (q/p)^-m

Sol:- 

            L.H.S.  (p/q)^m  ×   (p/q)^m × (q/p)^m

                                                                                = (q/p)^-m × (q/p)^-m  ×= (q/p)^m

                                                                   = (q/p)^-m+(-m)+m

                                                                  = (q/p)^-m-m+m

                                                                  = (q/p)^-m   R.H.S.

                                                        Hence,  R.H.S. = L.H.S.    Proved.

(c)  (25/16)^-4  = (16/25)⁴

Sol:- 

                          L.H.S.  (25/16)^-4         = 1/(25/16)⁴

                                                                        =   (16/25)⁴ R.H.S.

                                               Hence, L.H.S. = R.H.S.     Proved.

Q. 4.  Write True or False:

(a).  (-5/4)⁶⁵ = (-5)⁶⁵ / (4)⁶⁵

Ans.    True.

(b) (-32/19)¹⁵⁰  =  32¹⁵⁰ / 19¹⁵⁰

Ans.    True.

(c).  (25 × 3)⁵ = 25 × 3⁵

Ans.   False.

(d).  (27/16)^-15  = 27¹⁵/16¹⁵

Ans.      False.